曹军

   1986年出生于湖南衡阳市耒阳市，2014年7月博士毕业于北京师范大学数学科学学院，师从杨大春教授，学习调和分析,特别是函数空间实变理论。2014年进入浙江工业大学数学科学学院(原理学院)工作，2017-2019年赴德国比勒费尔德大学数学系做博士后，合作导师为Alexander Grigor'yan教授，学习度量测度空间上的热核理论。目前为浙江工业大学健行特聘教授，数学科学学院学术副院长，分析与几何研究团队成员。

   主要从事基础数学调和分析及其应用方面研究（参看数学家陶哲轩的介绍harmonic analysis.pdf），目前主要关心与函数空间、热核和微分算子相关的一些问题，主持国家自然科学基金面上项目2项，主持完成国家自然科学基金青年基金1项，主持浙江省自然科学基金杰出青年基金1项。获浙江省数学会2021年科研成果奖一等奖，浙江工业大学第一批“数理青年英才支持计划”重点支持计划支持、浙江工业大学第二批“青年英才支持计划”支持。

   目前指导博士生（学术型）3人（邓超红,吴育联，陈诚），协助指导博士生1人（唐黎）。指导硕士生（学术型）4人（黄俊博，王广正，李振永，聂隆昊），已毕业5人（豆孝申[金融]、李媛媛 [教育]，高梦瑶 [教育]，张旗顺 [读博]，俞卓楠[教育],王超 [机关单位]）。

2026年暑期讨论班

2025-2026学年

课程名称	时间	课程信息	备注
Sobolev不等式及其应用	前八周，6-8节，博易楼C307；后八周，仁和楼211	博士生课程
数学分析I	周一、二、五，东配楼412	本科生课程
实分析	周二，10-12节，广知楼B104	研究生课程	real analysis.pdf.pdf
调和分析讨论班	周二，6-8节，广知楼B106

2025暑期讨论班：

第1小时，吴玉荣老师讲书《Gaussian Harmonic Analysis》（Urbina-Romero-Gaussian Harmonic Analysis.pdf）；

第2-3小时，轮流报告论文。论文报告顺序如下：

顺序	题目	报告人	时间	地址	注备
1	加权流形上的热核及其应用-1	曹军	6月26日，周四，下午1:30-4:30	广A101	Heat kernels on weighted manifolds and applications （Grigoryan）.pdf
2	加权流形上的热核及其应用-2	曹军	7月2日，周三，下午1:30-4:30	理C220
3	加权流形上的热核及其应用-3	曹军	7月9日，周三，下午1:30-4:30	理C210
4	加权流形上的热核及其应用-4	曹军	7月16日，周三，下午1:30-4:30	理C210
5	加权流形上的热核及其应用-5	曹军	7月23日，周三，下午1:30-4:30	理C210
6	加权流形上的热核及其应用-6	曹军	7月30日，周三，下午1:30-4:30	理C210
7	加权流形上的热核及其应用-7	曹军	9月3日，周三，下午1:30-4:30	广B101
8	加权流形上的热核及其应用-8	曹军	9月10日，周三，下午1:30-4:30	广B101
9	加权流形上的热核及其应用-9	曹军	9月18日，周四，下午1:30-4:30	广B101

2024-2025 (第一学期)

• 《数学分析I》  本科生课程（课程学习通主页），

    时间安排：周一（1-8周，1-2节）教302；周一（1-16周，6-7节）子良A144；周五（1-16周，6-7节）子良A258。

• 《点集拓扑》  本科生课程（课程学习通主页），

    时间安排：周二（1-8周，3-4节）博易B204；周四（1-16周，8-9节）博易B204。

• 《实分析》   硕士生课程，周四（1-16周，10-12节）广A214。

  
  

《调和分析讨论班》      安排如下：每周四上午：9:00-11:00 线上

2023-2024 (第二学期)

• 《Sobolev不等式及其应用》  博士生课程，2024年5月13日-5月27日

• 《调和分析讨论班》      安排如下

  顺序	题目	报告人	时间	地址	备注
  1	相关于薛定谔算子的Hardy空间理论	邓超红	2.27(星期二)，下午2:00-5:00	广知楼B301
  2	区域上BMO空间的Helmholtz分解	唐黎	3.5(星期二)，下午2:00-5:00	广知楼B301
  3	区域网格技术中共形映射的构造	俞卓楠	3.12(星期二)，下午2:00-5:00	广知楼B301
  4	欧氏空间上的广义二进方体	王超	3.19(星期二)，下午2:00-5:00	广知楼B301
  5	非光滑区域上的混合边值问题	张旗顺	3.26(星期二)，下午2:00-5:00	广知楼B301
  6	广义薛定谔算子的基本解估计	邓超红	4.16(星期二)，下午 2:00-5:00	广知楼B301
  7	区域上BMO空间的Helmholtz分解-2	唐黎	4.23(星期二)，下午 2:00-5:00	广知楼B301
  8	薛定谔算子的Agmon度量	邓超红	4.30(星期二)，下午 2:00-5:00	广知楼B305
  9	区域上BMO空间的Helmholtz分解-3	唐黎	5.7 (星期二)，下午 2:00-5:00	广知楼B305
  10	薛定谔算子及其在量子力学整体几何中的应用	邓超红	5.16-5.30 （每周一、二、四、五），下午：1:30-5:00	仁和210
  11	分数次算子	张旗顺	6.3（星期一），下午1:30-5:00	仁和210
  12	Decoupling技术及其应用-1	吴玉荣	6.14（星期五），下午1:30-4:30	仁和210
  13	分数次算子-2	张旗顺	6.18（星期二），下午1:30-4:30	仁和210
  14	分数次算子-3	张旗顺	6.25（星期二），下午1:30-4:30	腾讯会议号： 572-864-432

      
  
  

2023-2024（第一学期）

《数学分析I》    数学系2023级本科生，课程主页

《点集拓扑》    数学系2021级本科生，课程主页

《实分析》     数学系2023级硕士生

《学科前沿讲座》  数学系2023级博士生

2022-2023（第二学期）

《专业导论》        数学系2022级本科生

《数学分析选讲》     数学系2019级本科生

《研究生论文写作》    数学系2022级硕士生

2021-2022（第一学期）

《数学分析I》        数学系2022级本科生

《点集拓扑》        数学系2020级本科生

1. 学术会议：

● 2026杭州现代分析及其应用研讨会 

● 2025杭州调和分析青年学者论坛 

● 2024杭州热核及其相关问题研讨会 

● 2023杭州调和分析及其应应会议 

● 2021杭州调和分析及其应用研讨会

2. 学术报告 

   2026年

● 题目：Duality for Lorentz sequences spaces for Besov-Lorentz spaces 

  报告人： Fernando Cobos (西班牙马德里康普斯顿大学)

● 题目：Compactness and measure of non-compactness for interpolated operators by the real method      

  报告人：Luz Fernandez-Cabrera (西班牙马德里康普斯顿大学)

● 题目：Lorentz-Sobolev spaces that are multiplication algebras     

  报告人： Fernando Cobos (西班牙马德里康普斯顿大学)

● 题目：Global well-posedness and related extensions of Debye-Hückel type equations 

  报告人： 孙小春 (西北师范大学)

● 题目：Maximal growth of the Stein-Wainger oscillatory integral     

  报告人：张城 (清华大学)

● 题目：Singular limit for inviscid geophysical flow     

  报告人： 王彦霖 (浙江工业大学)

● 题目：Endpoint estimate on Rubio de Francia's maximal function     

  报告人：李冀 (澳大利亚Macquarie大学)

● 题目：The Brascamp--Lieb Inequality on Compact Lie Groups and its Extinction on Homogeneous Lie Groups   

  报告人：李冀 (澳大利亚Macquarie大学)

● 题目：Lifted Hardy–Littlewood (LHL) Maximal Operators     

  报告人：杨大春 (北京师范大学)

● 题目：Regularity of solutions to the Navier--Stokes equation with initial data in BMO^{-1}   

  报告人：侯贺冬 (西湖大学)

● 题目：A new framework to solve rough nonlinear PDEs   

  报告人：Sebastian Bechtel (巴黎萨克雷大学)

● 题目：Sharp geometric conditions for Sobolev extension operators   

  报告人：Sebastian Bechtel (巴黎萨克雷大学)

3. 论文清单：

●  Perturbed Dyadic cubes and quantitative estimates for Schrodinger operators with potential in RH^{n/2}, with C. Chen, C. Deng, Y. Wu, arXiv: 2607.28910.

●  Regularity of jump-type Dirichlet forms on metric measure spaces, with A. Grigor'yan, E. Hu, L. Liu, Preprint.

● Existence of stable-like heat kernels and stability of the critical index on metric measure spaces, with A. Grigor'yan, E. Hu, L. Liu, Preprint.

● Equivalent Characterizations and Applications of Fractional Sobolev Spaces with Partially Vanishing Traces on -Domains Supporting D-Adapted Fractional Hardy inequalties, with D. Yang, Q. Zhang, arXiv:2507. 08295.

● Hessian heat kernel estimates and Calderon-Zygmund inequalities on complete Riemannian maniflds, with L.-J. Cheng, A. Thalmaier, arXiv: 2108. 13058.

●  Construction of heat kernels on metric measure spaces via multiresolution analysis, with A. Grigor'yan, L.  Liu, Math. Ann.  396 (1), 2026.

●  Characterization of Infinitesimal -Relative Boundedness of Schrödinger Operators, with C. Deng,Y. Jin, Potential Analysis 63 (2), 2025.

● Characterizations of infinitesimal relative boundedness for higher order Schrödinger operators, with  M. Gao, Y. Jin, C. Wang,J. Math. Anal. App. 543 (2), 2025.

●  Fractional Besov spaces and Hardy inequalities on bounded non-smooth domains Journal, with Jin, Yongyang; Yu, Zhuonan; Zhang, Qishun. Annali di Matematica Pura ed Applicata, (1) 203, 2024.

● Local potential operator and uniform resolvent estimate for generalized Schrödinger operator in Orlicz spaces, with Dou, Xiaoshen; Gao, Mengyao; Jin, Yongyang Math. Nachr. 296 (2023), no. 10, 4533–4558. 

● Gaussian estimates for heat kernels of higher order Schrödinger operators with potentials in generalized Schechter classes, with Liu, Yu; Yang, Dachun; Zhang, Chao J. Lond. Math. Soc. (2) 106 (2022), no. 3, 2136–2192. 

● Heat kernel and Besov spaces on metric measure spaces, with A. Gri’goryan, J. Anal. Math., 148, 2022.

● Hardy's inequality and Green function on metric measure spaces, with  Grigor'yan, Alexander; Liu, Liguang J. Funct. Anal. 281 (2021), no. 3, Paper No. 109020, 78 pp. 

● Heat kernels and Besov spaces associated with second order divergence form elliptic operators, with Grigor'yan, Alexander J. Fourier Anal. Appl. 26 (2020), no. 1, Paper No. 3.  

●  Multiplication between Hardy spaces and their dual spaces, with Bonami, Aline; Ky, Luong Dang; Liu, Liguang; Yang, Dachun; Yuan, Wen. J. Math. Pures Appl. (9) 131 (2019), 130–170. 

● Riesz transform characterizations of Musielak-Orlicz-Hardy spaces, with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016), no. 10, 6979–7018. 

●Weighted local Orlicz-Hardy spaces on domains and their applications in inhomogeneous Dirichlet and Neumann problems，with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei, Trans. Amer. Math. Soc. 365 (2013), no. 9, 4729–4809. 

● Intrinsic structures of certain Musielak-Orlicz Hardy spaces, with Liu, Liguang; Yang, Dachun; Yuan, Wen J. Geom. Anal. 28 (2018), no. 4, 2961–2983. 

● Bilinear decompositions of products of local Hardy and Lipschitz or BMO spaces through wavelets, with Ky, Luong Dang; Yang, Dachun Commun. Contemp. Math. 20 (2018), no. 3, 1750025, 30 pp.   

● Boundedness of fractional integrals on weighted Orlicz-Hardy spaces, with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei Math. Methods Appl. Sci. 36 (2013), no. 15, 2069–2085. 

● Local Hardy spaces associated with inhomogeneous higher order elliptic operators, with Mayboroda, Svitlana; Yang, Dachun Anal. Appl. (Singap.) 15 (2017), no. 2, 137–224. 

● Maximal function characterizations of Hardy spaces associated to homogeneous higher order elliptic operators, with Mayboroda, Svitlana; Yang, Dachun Forum Math. 28 (2016), no. 5, 823–856. 

● Hardy spaces  HpL(Rn)  associated with operators satisfying  k -Davies-Gaffney estimates , with Yang, DaChun Sci. China Math. 55 (2012), no. 7, 1403–1440. 

● Non-tangential maximal function characterizations of Hardy spaces associated with degenerate elliptic operators, with Zhang, Junqiang; Jiang, Renjin; Yang, Dachun Canad. J. Math. 67 (2015), no. 5, 1161–1200. 

● Hardy spaces associated with a pair of commuting operator, with; Fu Zunwei; Jiang, Renjin; Yang, Dachun Forum Math. 27 (2015), no. 5, 2775–2824. 

● Weak Hardy spaces  WHpL(Rn)  associated to operators satisfying  k -Davies-Gaffney estimates, with Chang, Der-Chen; Wu, Huoxiong; Yang, Dachun J. Nonlinear Convex Anal. 16 (2015), no. 7, 1205–1255. 

● Estimates for second-order Riesz transforms associated with magnetic Schrödinger operators on Musielak-Orlicz-Hardy spaces, with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei Appl. Anal. 93 (2014), no. 11, 2519–2545. 

● Boundedness of second order Riesz transforms associated to Schrödinger operators on Musielak-Orlicz-Hardy space, with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei Commun. Pure Appl. Anal. 13 (2014), no. 4, 1435–1463. 

● Musielak-Orlicz-Hardy spaces associated with operators satisfying reinforced off-diagonal estimates , with Bui, The Anh; Ky, Luong Dang; Yang, Dachun; Yang, Sibei Anal. Geom. Metr. Spaces 1 (2013), 69–129. 

● Weighted Hardy spaces associated with operators satisfying reinforced off-diagonal estimates, with The Anh Bui; Ky, Luong Dang; Yang, Dachun; Yang, Sibei Taiwanese J. Math. 17 (2013), no. 4, 1127–1166. 

● Boundedness of generalized Riesz transforms on Orlicz-Hardy spaces associated to operators , with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei Integral Equations Operator Theory 76 (2013), no. 2, 225–283. 

● Endpoint boundedness of Riesz transforms on Hardy spaces associated with operators, with Yang, Dachun; Yang, Sibei Rev. Mat. Complut. 26 (2013), no. 1, 99–114. 

● Hardy spaces  H1L(Rn)  associated to Schrödinger type operators  (−Δ)2+V2, with Liu, Yu; Yang, Dachun Houston J. Math. 36 (2010), no. 4, 1067–1095.

● Real interpolation of weighted tent spaces, with Chang, Der-Chen; Fu, Zunwei; Yang, Dachun Appl. Anal. 95 (2016), no. 11, 2415–2443. 

主要主持项目

1.度量测度空间上的调和分析方法与几何维数问题，国家自然科学基金面上项目，2026-2029.

2.算子扰动下的函数空间理论及其应用，浙江省自然科学金杰青项目，2022-2024.

3.度量测度空间上相关于狄氏型的函数空间实变理论及其应用, 国家自然科学基金面上项目, 2021-2024.

4.相关于高阶微分算子的函数空间实变理论及其应用, 国家自然科学基金青年科学基金项目, 2016-2018.

目前指导博士生（学术型）3人（邓超红，吴育联，陈诚），协助指导博士生1人（唐黎）。

指导硕士生（学术型）4人（黄俊博、王广正,李振永，聂隆昊）。

毕业6人（豆孝申[金融]、李媛媛 [教育]、高梦瑶 [教育]、张旗顺 [读博]，俞卓楠[教育]，王超 [事业单位]）。

有意向报考我攻读研究生和博士生的同学请注意： 

我的主要研究方向为调和分析及其在数学各个领域中的应用（关于调和分析可以参看主页其它板块的介绍）。这个方向属于基础数学核心领域，与PDE、概率论、度量几何等数学中诸多领域有着密切联系，同时也与量子力学等物理学中相关主题紧密相连。在AI时代，我也在关注人工智能的数学基础等相关研究课题。如果你对前面所列的这些课题感兴趣，能够静下心来认真学习与思考数学，欢迎报告我的研究生。

在进入硕士阶段学习之前具备一定的分析基础,下面为进入本研究方向的大致研究路径：

一、硕士阶段前建议的阅读书目

1.      《实变函数论》                       周民强

2.      《泛函分析》上册                   张恭庆

3.      《点集拓扑讲义》                   熊金城

4.      《傅立叶分析导论》                Stein

二、硕士低年级建议阅读书目

1.      《实分析》                             Folland

2.      《泛函分析》                        杨大春、袁文

3.      《调和分析》                        林钦诚

4.      《Fourier分析》                    Javier Duoandikoetxea

5.      《经典傅里叶分析》            Grafakos

三、后续建议阅读书目：

1.      《Harmonic Analysis》                                                                       Stein

2.      《Measrure theory and fine properties of functions》                         Evans

3.      《现代傅里叶分析》                                                                          Grafakos

4.      《Sobolev space》                                                                               Adams

5.      《Theory of function space》                                                             Triebel

6.      《调和分析及其在偏微分方程中的应用》                                     苗长兴